Integral

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Addition Table.svg
FunçãoParábola.jpg

Este artigo é relacionado à matemática.

\int\!e^{x}dx=e^{x}+C=F(e^x)=f(e^x)=f'(e^x)=g(e^x)=...

Cuidado com as coordenadas polares!


Limite.jpg
Integral as region under curve.png

Este artigo é Engenheiro (ou não).


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Segundo os nerds matemáticos, você só vai poder calcular a área cinza usando integrais.

Cquote1.pngVocê quis dizer: Leite integral?Cquote2.png
Google sobre Integral
Cquote1.pngVocê quis dizer: Pão integral?Cquote2.png
Google sobre Integral
Cquote1.png Integrei pra Deu∫! Cquote2.png
Aluno de Engenharia sobre as notas da prova de integrais
Cquote1.png ZIVUDEU!!!! Cquote2.png
Professora de Cálculo sobre a relação entre alunos e integrais
Cquote1.png Fui eu que fiz! Cquote2.png
Paulo Maluf sobre integrais
Cquote1.png Teria sido melhor ver o filme do Pelé! Cquote2.png
Chaves sobre a aula de integrais

A Integração, muitas vezes representada pelo famigerado e temido , é a uma das piores operações que se pode fazer em Cálculo (como o Cálculo só tem duas operações mesmo, a outra é a Derivada), muito utilizada para rodar levas inteiras de peões alunos de Engenharia e Matemática, embora alguns estudiosos digam que a Integral tem uma grande importância na determinação de áreas abaixo de funções[carece de fontes]. A tortura O processo de criar integrais chama-se dar à luz integração. Para identificar de longe se se trata de uma integral, basta observar:

\int f(x)dx=F(x)+C

Se aquele s alongado aparecer, trate de ficar desgraçado da cabeça, pois ali está uma integral à espreita e pronta para ser resolvida.

Tabela de conteúdo

[editar] Integrais e áreas curvas

Arquimedes, ao terminar de encontrar a área do pênis dele pelo método da exaustão.

Desde os tempos pré-Dercyanos os nerds, estudiosos e cientistas procuravam fórmulas fáceis e rápidas para calcular áreas que não possuíam formulas específicas, como a área de uma bola de futebol americano, a área ocupada pela bunda da tua mãe ou mesmo a área total da mancha de cerveja derramada no sofá por você. O primeiro destes métodos foi criado por um grego vagabundo filósofo (pleonasmo?), e se chama Método da Exaustão, que consistia em dividir a área que se queria saber em mais de oito mil retângulos e calcular a área deles. Isso explica o nome deste método, que foi abandonado devido à incapacidade dos ábacos em somar numeros maiores que cem.

Com o nascimento de grandes nerds cérebros, tais quais Newton e Leibiniz, que desenvolveram novos métodos de achar estas áreas, o método da exaustão foi deixado de lado (um dos motivos é porque o método da exaustão sempre dava valores nas coxas, mas nunca ninguém deu bola pra isso). Com a criação do Cálculo renal por parte dos desocupados supracitados, descobriu-se uma maneira mais fácil[carece de fontes] de calcular as referidas áreas, necessitando apenas que elas possuam uma equação.

E, da mesma forma como criaram o Cálculo Diferencial, Newton e Leibiniz inventaram o Cálculo Integral, com todos os formalismos e enchimentos de linguiça possíveis, tudo isso apenas para dar assunto durante as aulas e também para poder cobrar coisas a mais na prova, como se o básico já não fosse suficiente. Depois de Newton e Leibiniz, apareceu um tal de Riemann, que desenvolveu plena e gloriosamente o conceito de integral.

[editar] Integral de Riemann

Uma integral de Riemann. Agora trate de calcular as áreas dos retângulos.

Cquote1.pngVocê quis dizer: He-man?Cquote2.png
Google sobre Riemann

Bernard He-Man Riemann era o pupilo mais querido, bajulado, adorado e sodomizado de Gauss, o deus da matemática. Como pupilo mais querido, foi o que deu o maior fruto a seu mestre: desenvolveu ele mesmo o conceito de integral (claro que o conceito dele tinha falhas, mas, em 1800 e pau com corda, só com ábacos, até que esse cara fez demais). Riemann desenvolveu sua integral por meio de somas de retângulos que englobam a região a ser calculada, mostrando a grande criativdade de seu raciocínio. Segundo Riemann, a fórmula seria:

\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)-s\right|<\varepsilon

Onde:

  • n = número de retângulos na área
  • x = a base dos retângulos
  • ti = altura dos retângulos (que pode variar, ou seja, vai dar um baita trabalho)
Uma das aplicações da Integral de Riemann.

A fórmula acima apenas serve para os alunos dizerem em alto e bom som Cquote1.png MAS QUE PORRA É ESSA? AAAAAAAAAAAA!! Cquote2.png, pois nem mesmo o próprio Riemann soube explicar esses hieróglifos. No entanto, Gauss, por meio de uma gambiarra matemática, conseguiu provar que esta integral ecziste e que ela servia para alguma coisa a mais além de ferrar com os alunos de cálculo. Com isto seu pupilo foi reconhecido como criador da integral e a partir de sua denominação desenvolveu-se o método de integração que se usa em qualquer lugar, desde o Acre[carece de fontes] até o inferno.

O conceito furado de integral proposta por Riemann será muito útil para calcular integrais definidas, onde o domínio é restrito a valores que você não gostaria de calcular nem fodendo. Essas integrais definidas, pela suruba de sinais e outros aspectos, serão tratadas em volume seção posterior.

[editar] Processos de Integração

Assim como na outra operação do Cálculo (a diferenciação) existem regras para jogar integrar. Dentre as mais de oito mil regras que existem e que a sua professora de Cálculo irá te obrigar a decorar só porque vai cair na prova, estão:

  • Integral de uma constante: a integral de uma contante é a constante vezes a variável mais a constante C. Exemplo:
 \int a\ dx = a.x + C
Um processo de integração bem sugestivo.

OBS: Se a constante for zero, então só sobra mesmo a constante C e zivudeu o x:

 \int 0\ dx = C
  • Regra da ImPotência: De forma análoga à regra da derivada, na integral o expoente é somado de um e a porra toda é dividida pelo novo expoente:
 \int x^{n}\ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

OBS (porra, outra observação?): No entanto, se o expoente do x for -1 (menos um), a coisa complica, pois não se pode dividir por zero. Então, os nerds matemáticos chegaram a seguinte conclusão (e não venha você pedir o porque da conclusão ser esta, a não ser que queira que o pau coma):

 \int x^{-1}\ dx = ln|x| + C
 \int k.f(x)\ dx = k.\int f(x) \ dx + C
  • Regra da Função Exponencial Natural: por ser a sem-graça, sua integral será ela mesma, acrescida da contanste maldita:
 \int e^{x}\ dx = e^{x} + C
  • Regra da Soma: uma integral de somas é igual à soma das integrais (WTF?):
 \int [f(x) + g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx + \int g(x) \ dx + C
  • Regra da Diferença: uma integral de diferenças é a diferença das integrais (O RLY?):
 \int [f(x) - g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx - \int g(x) \ dx + C
  • Regra da Substituição: de forma análoga á regra da cadeia, na regra da substituição deve-se escolher uma parte da porra toda, dar o nome de uma letra a ela, e calcular a derivada desta função, para depois colocar no lugar do dx, com o nome de d(nome da letra). Deve-se prestar atenção, pois se depois da substituição ainda houver algum x, então, ou tu fez merda, ou essa regra não serve. Como exemplo:
 \int x.(4x^{2} + 7)\ dx

Admitindo que u = 4x^{2} + 7 e que u' = 8x, realizamos a substituição:

Exercício resolvido a fim de encontrar a Constante arbitrária de integração (vulgo C).
 \int x.u \ du.\frac{1}{8x} = \frac{1}{8}. \int u\ du = \frac{1}{8}.\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{(4x^{2} + 7)^{2}}{16} + C

Como se pode perceber, esta é uma operação completamente simples e fácil de resolver, embora a sua Professora de Cálculo, sabiamente vá dizer que é um proceso dificílimo e altamente descabelante.

  • Regra da Intgegração por Partes: processo preferido por Jack, o estripador, é muito utilizada onde a regra da substituição não funciona, saba-se lá por que motivo. Geralmente essa regra é utilziada por produtos de funções sem costumes, que se resumem numa suruba. Esta regra é a recíproca da regra do produto para derivadas, que é:
D[f(x).g(x)] = f(x).g'(x) + g(x).f'(x)\,

Admitindo que f(x) = u, f'(x) = dx, g(x)= v e g'(x) = dv e integrando dos dois lados, a fórmula fica:

\int \frac{u.v}{dx}\ dx = \int u\ dv + \int v\ du\,

Como derivada e integral se matam cancelam, e, rearranjando a conta, chegamos a:

\int u\ dv = u.v - \int v\ du + C \,

Esta é a formula que você terá de usar e se foder para conseguir calcular inegrais por partes. E, se durante a resolução, aparecer outra integral por partes, terá de repetir o processo, MWAHAHAHAHAHA!

[editar] Constante arbitrária de Integração

O problema ao se integrar é o fato de que sempre se criará uma constante C, que é conhecida e registrada em cartório como Constante arbritária de integração. É este numerozinho do capeta que irá discernir umas integrais das outras. Seu uso, no entanto é apenas utilizado para rodar alunos por serem burros desatentos, entre outros pega-ratões.

Essa constante é fruto do processo inverso à diferenciação onde um valor sem varíavel some durante a diferenciação. Então, ao integrar, você tem de ressucitar reescrever este valor. E, como nunca se sabe este valor, coloca-se outra letra, geralmente o famoso C. O grande problema de se calcular esta constante está em saber o valor da integral em um determinado valor da variável. Sem isso, você não é capaz de calcular o C nem fodendo.

[editar] Integral definida

A integral definida é a integral que, quando resolvida, deverá obrigatoriamente dar um número, sem x em porra nenhuma. Ela se torna definida quando os limites inferior e superior de integração são definidos. No entanto, estes limites nada mais são do que valores de x e a área entre esses números é o que você pretende calcular. A notação de uma integral definida é:

\int_a^b f(x) \ dx = \int [f(b) - f(a)] = ?
Partícula descrevendo uma trajetória ao redor de um buraco afro. A distância percorida é a integral de linha desta curva maldita.

Onde:

  • a é o limite inferior de integração, ou seja, onde começa a área que você está tentando calcular;
  • b é o limite superior de integração, que é onde termina a maldita referida área;

Para calcular a área destas integrais, é apenas preciso descontar o limite inferior do superior, o que dará na área. Não se preocupe com a constante C, pois, nas integrais definidas ela sempre peidará para a muzenga. O motivo de tamanha felicidade disso será discutido logo.

[editar] Integral de linha

A integral de linha é uma integral de uma função vetorial (WTF?), que retorna um produto escalar (ou seja, um número, e não um vetor). Se constitui do somatório das infinitas posições vetoriais da função que foi integrada, o que constitui numa chatice sem limite (com o perdão do trocadilho). Pelo fato de não ser um vetor, não tem nem sentido, nem direção, o que é totalmente excelente.

Esse tipo de integral tem muita desimportância na física[carece de fontes], onde nerds malucos ficam fazendo continhas e gráficos apenas para usar essa integral. Geralmente ela é utilizada para calcular o trabalho que você deveria ter realizado (seu vagabundo!!), ou a distância percorrida em uma trajetória conhecida, dentre outros enchimentos de linguiça.

[editar] Teorema fundamental do Cálculo e áreas entre curvas

A área entre as duas funções pode ser calculada (ou não) por meio de uma diferença de integrais.

O Teorema Fundamental do Cálculo, foi proposto por Newton e Leibiniz, em meados de 1700 e pau com pedra, quando realizaram o desenvolvimento do Cálculo. Esse teorema diz que, uando se calcula uma integral definida, as constantes desaparecem, pois isso é resultado da operação de subtração entre elas. Desta forma, o teorema diz que, quando se calcula as integrais definidas, as constantes vão à puta que pariu.

Esse teorema tem importância capital (ou não), pois, se precisássemos saber o valor das constantes, as Integrais não serviriam para porra nenhuma. Com isso, o teorema salvou todo o trabalho daqueles dois vagabundos e até nos ajudou, já que ter de ficar calculando o valor da constante C é uma merda sem tamanho.

Esse teorema é fundamental para calcular áreas situadas entre duas curvas. Por meio das integrais das referidas curvas e da subtração da integral da curva mais baixa da integral da curva mais alta, sendo que, algumas vezes é preciso despedaçãr em duas, três, cem, 666 ou oito mil integrais, todas somadas umas as outras, de forma altamente suspeita. E depois, para resolver a suruba numérica e de sinais, vai ser preciso uma concentração de monge tibetano e um supercomputador no lugar de uma calculadora. Se você tiver muita sorte, vai conseguir chegar à área correta.

[editar] Aplicações

Posta a importância capital[carece de fontes] do Cálculo em vários setores das ciências exatas e tencológicas, as integrais foram a forma mais simples de se calcular áreas redondas, irregulares, inexistentes e satânicas. Na Física, que é irmã-gêmea-siamesa da matemática, então, nem se fala. Se usa integrais para calcular desde trabalho até campos relativísticos de Einstein-Schrödinger-...Ronaldo!, dentre outras maluquices que só físicos e nerds avançados entendem.

Na matemática, a integral, a derivada e o cálculo são utilizados nas áreas inúteis de anal análise real e complexa[carece de fontes], que nada mais são do que provar que 1 + 1 é 2 ou porque o número 2 é par, dentre outras funções totalmente imprestáveis e que são usados pelos matemáticos apenas como fonte de prazer (ou sadomasoquismo) profisional.

[editar] Ver também

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Conheça também a versão oposta de Integral no Mundo do Contra:


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